Calcular las áreas de una figura regular es una tarea muy fácil, por lo cual la sustitución de la longitud, anchura u otras cantidades en la fórmula produciría el resultado. Sin embargo, la estimación del área bajo la cursa de las funciones no es tan sencilla, ya que existen figuras amorfas y no fórmulas directas para estimar ésta área. Para empezar ¿Qué es una figura amorfa?
Definición:
Las figuras amorfas, "son aquellas figuras que no tienen forma conocida (no es un cuadrado, ni triángulo,ni nada de ese estilo), mas bien es una curva o una figura de muchos lados distintos y "deforme" y su principal finalidad es encontrar en una gráfica dada su área de la parte de adentro de la figura donde se encuentra el punto dado de la figura amorfa.
La notación sumatoria es encontrar el valor de la ecuación dada respecto a un número determinado cuando un punto "n" tiende a cualquier numero dado. Existen dos tipos de notación sumatoria:
- La notación sumatoria abierta
- La notación sumatoria pertinente
Ejemplo de medición *aproximado de figuras amorfas.
Área bajo la curva:
Supongamos la siguiente figura bajo la curva, a la cual se requiere conocer su área, teniendo como datos a=4( b=9 en una función f(x) = x^2.
Para obtener el área de la figura anterior, primero se debe representar los valores que se nos den para dicha figura, la fórmula que se utiliza para el procedimiento es: Base es igual a la diferencia de el valor final (b) menos el valor inicial (a) dividido entre el número de figuras conocidas a las cuales se les puede obtener el área con las fórmulas conocidas para figuras regulares (n) las cuales cubren el área bajo la curva (s), quedan la fórmula como sigue:
Base = (b-a)/n
Para esto dividimos la figura con **rectángulos, obteniendo lo siguiente:
Paso 1: Cálculo de la base:
base = (b-a)/n = (9-4)/12
base = 5/12
Paso 2: Analizar el problema.
Si tenemos 12 áreas, entonces necesitamos encontrar el valor de éstas áreas. Por lo que debemos obtener los puntos (an) que nos van a generar nuestras alturas (hn)
a1= a + base = 4 + (5/12) = 53/12
a2= a + 2(base) = 4 + 2(5/12) = 29/6
a3= a + 3(base) = 4 + 3(5/12) = 21/4
a4= a + 4(base) = 4 + 4(5/12) = 17/3
a5= a + 5(base) = 4 + 5(5/12) = 73/12
a6= a + 6(base) = 4 + 6(5/12) = 13/2
a7= a + 7(base) = 4 + 7(5/12) = 83/12
a8= a + 8(base) = 4 + 8(5/12) = 22/3
a9= a + 9(base) = 4 + 9(5/12) = 31/4
a10= a + 10(base) = 4 + 10(5/12) = 49/6
a11= a + 11(base) = 4 + 11(5/12) = 103/12
a12= a + 12(base) = 4 + 12(5/12) = 99
Nótese que únicamente cambia el valor que multiplicará a la base (siendo que esta es la misma), ahora deberemos encontrar el valor de la altura (h), recordemos que al poseer 12 áreas, también deberemos tener 12 alturas, para esto deberemos recurrir a la función que se nos dio al principio del problema f(x) = x^2, en este caso "x" será remplazada por las 12 áreas que tenemos.
h = f(x^2)
h1 = f((53/12)^2) = 2809/144
h2 = f((29/6)^2) =841/36
h3 = f((21/4)^2) =441/16
h4 = f((17/3)^2) =289/9
h5 = f((73/12)^2) =5329/144
h6 = f((13/2)^2) = 169/4
h7 = f((83/12)^2) =6889/144
h8 = f((22/3)^2) = 484/9
h9 = f((31/4)^2) = 961/16
h10 = f((49/6)^2) = 2401/36
h11 = f((103/12)^2) =10609/144
h12 = f(9^2) = 81
Paso 3: Procedimiento.
Una vez que tengamos todos los datos necesarios, simplemente utilizaremos la fórmula para sacar el área de un rectángulo, la cual es Base x Altura:
An = base(hn)
A1 = base(h1) = (5/12)(2809/144) = 14045/1728
A2 = base(h2) = (5/12)(841/36) = 4205/432
A3 = base(h3) = (5/12)(441/16) = 735/64
A4 = base(h4) = (5/12)(289/9) = 1445/108
A5 = base(h5) = (5/12)(5329/144) = 15.41956019
A6 = base(h6) = (5/12)(169/4) = 845/48
A7 = base(h7) = (5/12)(6889/144) = 19.93344907
A8 = base(h8) = (5/12)(484/9) = 605/27
A9 = base(h9) = (5/12)(961/16) = 4805/192
A10 = base(h10) = (5/12)(2401/36) = 12005/432
A11 = base(h11) = (5/12)(10609/144) = 30.69733796
A12 = base(h12) = (5/12)(81) = 135/4
Paso 3: Resultado final.
Por último se requiere hacer una sumatoria de las 12 áreas para encontrar el área total (At)
At = A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7+A8+A9+A10+A11+A12
At = 14045/1728 + 4205/432 + 735/64 + 1445/108 + 15.41956019 + 845/48 + 19.93344907 + 605/27 + 4805/192 + 12005/432 + 30.69733796 + 135/4
At = 235.353009
Y de esta forma encontramos el valor del área en la figura amorfa.
Notas:
* Este cálculo es un método APROXIMADO, no se calcula el área real de la figura.
** Entre mas rectángulos esté dividido la figura, mas exacto será el cálculo, acercándonos mas al valor real del área bajo la curva.
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excelente información
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